Προπαίδεια η πονεμένη

προπαίδεια

Η σχολική χρονιά σε λίγες μέρες αρχίζει και πολλοί είναι οι μαθητές που θα βρεθούν αντιμέτωποι με την προπαίδεια είτε για πρώτη, είτε για πολλοστή φορά. Και να τα κλάματα, να οι σελίδες των τετραδίων να γεμίζουν με την προπαίδεια, να σου όπου βρεθείς κι όπου σταθείς να σε ρωτούν για την προπαίδεια.

Γιατί λοιπόν θεωρείται τόσο δύσκολη η προπαίδεια; Τι είναι αυτό που κάνει την προπαίδεια του 5 και του 10 πανεύκολη και αυτή του 7 απίστευτα δύσκολη για τα παιδιά; Γιατί του 2 και του 3 τη μαθαίνουν γρήγορα αλλά του 6, 7 και 8 κάποιοι μαθητές δε τη μαθαίνουν ποτέ; Και γιατί του 9 είναι πάλι λιγάκι εύκολη; 

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι ένα πρώτο βήμα στην εκμάθηση της προπαίδειας. 

Όταν οι μαθητές ξεκινούν να πρωτομαθαίνουν την προπαίδεια αυτό που κάνουν είναι επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Στους μικρούς αριθμούς όπως το 2 και το 3 είναι εύκολο να το κάνουν. Όσο όμως οι αριθμοί μεγαλώνουν αυτή η τεχνική όλο και δυσκολεύει. Τα πράγματα γίνονται ακόμα πιο σκούρα όταν τα γινόμενα ζητούνται μπερδεμένα και γρήγορα. Εκεί όσο γρήγορος και ικανός και να είσαι στην επαναλαμβανόμενη πρόσθεση θα σκοντάψεις. Και βεβαίως αυτό που κάνουν πολλοί μαθητές και που κλήθηκα κι εγώ να το κάνω σα μαθήτρια είναι να γράφουν άπειρες σελίδες με την προπαίδεια ή να τη λένε νεράκι με τη σειρά. Να μπερδεύεται η γλώσσα, να μπερδεύονται σε ένα γινόμενο και μετά να βγαίνουν όλα λάθος. 

Έχω ακούσει πολλούς να λένε ότι την προπαίδεια τη μαθαίνεις σαν ποίημα, παπαγαλία και ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος. Η αλήθεια είναι ότι κάποια στιγμή με τις πολλές επαναλήψεις τα γινόμενα έρχονται αυθόρμητα, αλλά μέχρι να φτάσουν σε αυτό το σημείο οι μαθητές παιρνούν ένα Γολγοθά καθώς δεν είναι δυνατόν να απομνημονεύσεις τόσους αριθμούς χωρίς να εφαρμόσεις κάποιες τεχνικές. Κανείς δε μπορεί να το κάνει.

Για μένα, η παπαγαλία δε χρειάζεται καθόλου και όπως θα δείτε και στη συνέχεια αν γυρνούσα το χρόνο πίσω στην παιδική μου ηλικία, μόνο ένα γινόμενο θα μάθαινα παπαγαλία, το 7χ7. Πιο σωστό είναι να οικοδομήσεις τα νέα δεδομένα στην υπάρχουσα γνώση. Πιο συγκεκριμένα, στο τέλος της Β'Δημοτικού που ξεκινάει να διδάσκεται συστηματικά η προπαίδεια οι μαθητές γνωρίζουν τα διπλάσια. Αν γνωρίζεις λοιπόν ότι το διπλάσιο του 7 είναι το 14, μπορείς να διπλασιάσεις πάλι και να βρεις το γινόμενο 4χ7. Επιπλέον, οι μαθητές γνωρίζουν από την Α'Δημοτικού τα ζευγαράκια του 10 και μπορούν να πατούν σε αυτά και να κάνουν πράξεις αυτόματα, χωρίς να μετρούν. Αυτή τη γνώση τη χρησιμοποιούμε για να οικοδομήσουμε τη νέα και να μπορούμε να βρίσκουμε αυτόματα γινόμενα που βασίζονται στην πρόσθεση ή στην αφαίρεση από τις δεκάδες. Για παράδειγμα 4χ6 και 6χ6, όπου αφαιρείς ή προσθέτεις στο 30. Τέλος, γνωρίζουν και το πάτημα στην πεντάδα που είναι επίσης μία πολύ ωραία τεχνική που ενδεχομένως να βολέψει κάποιους μαθητές. Για παράδειγμα το 4χ6 είναι ίσο με το 4χ5 και 4χ1, άρα 20+4=24

Στη συνέχεια θα σας δείξω μερικές μόνο τεχνικές για την εκμάθηση της προπαίδειας και θα σας προτείνω κάθε φορά που διδάσκετε μία προπαίδεια να την καταγράφετε στον πίνακα και να προτρέπετε τους μαθητές να ανακαλύψουν τρόπους και συσχετισμούς που θα τους βοηθήσουν. Είναι σημαντικό, όμως, ο κάθε μαθητής να βρει και να χρησιμοποιήσει τον τρόπο που λειτουργεί στον ίδιο καλά και να μην επιβληθεί από εμάς. Η γνώση οικοδομείται πάνω σε αυτή που ήδη υπάρχει στο μυαλό του μαθητή, δεν επιβάλεται.

Η προπαίδεια του 2

  2    4    6    8  1

12   14   16  120

Βλέπουμε ότι το μοτίβο που επαναλαμβάνεται είναι το 2, 4, 6, 8, 0 οπότε μία προπαίδεια του 2 δε θα μπορούσε ποτέ να τελειώνει σε μονό αριθμό (1,3,5,7,9). Αυτό ισχύει σε όλες τις προπαίδειες ζυγών αριθμών.

Η προπαίδεια του 3

Εδώ δεν έχουμε κάποιο βολικό μοτίβο οπότε θα ακολουθήσουμε άλλα κόλπα

1χ3=3

2χ3=6

3χ3=9

4χ3=12

5χ3=15 το αντιστρέφουμε σε ένα γνωστό και εύκολο γινόμενο 5χ3=15

6χ3=18

7χ3=21

8χ3=24 το 8 είναι το διπλάσιο του 4 άρα το γινόμενο 8χ3 είναι διπλάσιο του 4χ3 , δηλαδή 12+12 που είναι              ένα εύκολο γινόμενο και κάνει φυσικά 24 

9χ3=27 Οι μαθητές γνωρίζουν ότι 10χ3=30 , οπότε από το 30 κατεβαίνουν 3 και το βρίσκουν εύκολα

10χ3=30

Η προπαίδεια του 4

Καταρχήν κι εδώ υπάρχει ένα μοτιβο που επαναλαμβάνεται 

  4    8    12    16    20

24  28    32    36    40

Επιπλέον όμως υπάρχουν κι άλλα κόλπα

1χ4=4

2χ4=8

3χ4=12

4χ4=16 

5χ4=20 

6χ4=24 Γι'αυτό το γινόμενο όπως και για τα 2 επόμενα πατάμε στο 5χ4=20 

7χ4=28 

8χ4=32 Το ίδιο κι εδώ. θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τα γνωστά γινόμενα 5χ4=20 και 3χ4=12                    άρα 20+12=32

9χ4=36 Από το 40 αφαιρούμε 4

10χ4=40

Προπαίδεια του 5

Το μοτίβο που ακολουθείται εδώ είναι πανέυκολο 5,0. Είναι μόνο 2 αριθμοί και γι'αυτό είναι τόσο εύκολο

Προπαίδεια του 6

Κι εδώ υπάρχει μοτίβο

  6   12   18    24    30

36   42   48    54    60 

Επιπλέον οι μαθητές μπορούν να εφαρμόσουν διάφορες τεχνικές ανάλογα τι βολεύει τον καθένα. Όπως να πατήσουν στο 5χ6=30 και να αφαιρέσουν 6 για να βρουν το 4χ6 ή να προσθέσουν 6 για να βρουν το 6χ6, ή να χρησιμοποιήσουν το διπλάσιο με τον τρόπο που αναφέρθηκε παραπάνω.

1×6=6

2×6=12

3×6=18

4×6=24 αφαιρούμε 6 από το 30

5×6=30

6×6=36 προσθέτουμε 6 στο 30

7×6=42 μπορούμε να προσθέσουμε τα γινόμενα του 5χ6 και 2χ6, οπότε 30+12=42

8×6=48 είναι το διπλάσιο του 4χ6, άρα 24+24=48

9×6=54 αφαιρούμε 6 από το 60

10×6=60

Προπαίδεια του 7

Πρόκειται για την πιο δύσκολη προπαίδεια καθώς δεν ακολουθεί κάποιο μοτίβο και επιπλέον το πάτημα του 5 δεν είναι πολύ βολικό για γρήγορες αφαιρέσεις και προσθέσεις. 

1χ7=7

2χ7=14

3χ7=21

4χ7=28 είναι το διπλάσιο του 2χ7=14, άρα 14+14=28

5χ7=35

6χ7=42 είναι το διπλάσιο του 3χ7=21, άρα 21+21=42

7χ7=49 το πιο εύκολο απ'όλα είναι να το μάθεις απ'έξω και να ξεμπερδεύεις

8χ7=56 είναι πιο εύκολο να το αντιστρέψεις και να υπολογίσεις το 7χ8. 5χ8=40 και 2χ8=16, 40+16=56

9χ7=63 αφαιρείς 7 από το 70

10χ7=70

Προπαίδεια του 8

Κι εδώ έχουμε μοτίβο, όπως σε όλες τις προπαίδειες ζυγών αριθμών. Έχουμε εύκολα πατήματα για προσθέσεις και αφαιρέσεις και εύκολα μισά και διπλάσια.

1χ8=8

2χ8=16

3χ8=24

4χ8=32 αφαιρούμε 8 από το 40

5χ8=40 

6χ8=48 προσθέτουμε 8 στο 40

7χ8=56 προσθέτουμε τα γινόμενα του 5χ8 και 2χ8, άρα 40+16=56

8χ8=64 είναι το διπλάσιο του 4χ8, άρα 32+32=64

9χ8=72 αφαιρούμε 8 από το 80

10χ8=80

Προπαίδεια του 9

Εύκολη προπαίδεια αφού το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να αντιστρέφουμε τα γινόμενα, και να αφαιρούμε από το γινόμενο του 10. Για παράδειγμα 3χ9=9χ3. Σκεφτόμαστε 10χ3=30, οπότε 30-3=27

Επιπλέον υπάρχουν και 2 κολπάκια που αρέσουν πολύ στα παιδιά.

Στα γινόμενα οι δεκάδες ανεβαίνουν ένα και οι μονάδες κατεβαίνουν ένα

Επίσης σε κάθε γινόμενο το άθροισμα των ψηφίων κάνει πάντα 9

1χ9=  9

2χ9=18

3χ9=27

4χ9=36

5χ9=45

6χ9=54

7χ9=63

8χ9=72

9χ9=81

10χ9=90

Κλείνω λοιπόν, τονίζοντας πόσο πιο σημαντικό είναι τόσο στο σχολείο όσο και στο σπίτι αντί για μια στείρα αντιγραφή της προπαίδειας, οι μαθητές να προσπαθούν να παρατηρούν και να ανακαλύπτουν τις σχέσεις ανάμεσα στους αριθμούς. 

Καλή τύχη και γρήγορα ξεμπερδέματα!

προπαιδεια 2